オイラーの式の証明その後、あるいは年初の目標進捗

覚え書きもあり、今週末の感想を。

年初の目標の一つ、自然数の和


1+2+3+4+...=-1/12


の証明ができるようになるため、年末に「リーマン予想のこれまでとこれから」を購入した。



ざっと一回読んでみて、なるほどリーマンのゼータ関数は広がりと深みがあることがわかった。これはこれで面白い。第I部「リーマン予想への助走」の中の「有限ゼータ関数」と「無限への接近」、第II部の「ピタゴラスからオイラーまで」で、その式はオイラーにより導出されている。一つ一つ手で確かめながら進めており、解るたびに自分が好きになる。しかし、この本はそんな簡単な式に拘泥すること無く先に進む。そこで、同じ著者の黒川信重が書いた「オイラー探検　無限大の滝と12連峰」を買い求めてこちらも読んでみた。



その式は12章の「自然数全体の和：オイラー瀑布」に取り扱われている。

• 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10...=1/4

で、自然数の全体の和から偶数の和の2倍を引いた式になっており、その結果自然数の和が-1/12と出てくる。

つまり

1-2+3-4+5-6+7-8+9-10...
=(1+2+3...)-2(2+4+6...)
=(1+2+3...)-4(1+2+3...)
=-3(1+2+3...)

より
1+2+3+...=-1/12

オイラーは冪級数
1+x+x^2+x^3+... = 1/(1-x)
を用いる。これは1/(1-x)のテーラー展開したもので、これを二乗し
(1+x+x^2+x^3...)(1+x+x^2+x^3...)=1/(1-x)^2
の左辺は、
(1+2x+3x^2+4x^3...)であるからx=-1を代入すると
左辺=1-2+3-4+5-6...
右辺=1/(1+1)^2=1/4
である。ここまでは収束性を考慮に入れていないが、ゼータ関数のその後の研究でこの考え方は基本的に正しいのだそうだ。この正しいそうだを確信にすることが次の目標。問題をブレークダウンすることができた、というのが1月の成果。

今更ながら無限とか収束とかキチンと理解しておらず、そういえばテーラー展開も証明はできないことに気がつき、書斎をごそごそ探すと、「改訂微分積分学要論（青木利夫・吉原健一共著）」が出てきた。これは古本屋で購入したもの。自分は本当は理解していなかったことを改めて感ずる。



この本が意外と良い。解りやすいのだ。大学で微分積分を学ぶためのテキストで大学卒業後20年を超えてもまだ読める。たしかに1/(1-x)のテーラ展開が可能なのは|x|<1の区間であるとしている。

次に攻めるべきは、この微積の演習をいくつか解いてみてまた黒川の2番目の本に戻ってこよう。